さらなる数学へ 中学校1年の数学の学習では，新しいことを学び，いろいろなことができるようになりました。数学の学習を進めていくにあたって，どんな「見方・考え方」をしてきたかまとめてみましょう。「見方・考え方」はここにあるだけでなく，いろいろな場面でいろいろな「見方・考え方」を使います。身のまわりや数学の中から問題を発見しよう数学の問題として考えよう空間図形の見方いろいろな立体12 ほかにはどんな見方で分類することができるでしょうか。次のア～カの6つの立体は，どのように分類することができるでしょうか。1 美み月つきさんは，次のように2つに分類しました。どんな見方で分類したのか 説明してみましょう。QUESTION見方・考え方立体のどこに着目すれば分類できるかな。小学校で学んだ立体と，学んでいない立体があるね。いろいろな立体を，影の形に着目して調べよう。目標いろいろな見方で分類してみよう。それぞれの立体には，どんな特とく徴ちょうがあるのかな。500000QRエオカウイア196エカイオウア調べようグラフに表そう問題を見つけよう予想しよう数学的活動上の表から，視力xと外側の直径yｍｍ の間には，どんな関係があると考えられるでしょうか。左の図にグラフをかき入れましょう。また，xとyの関係を式に表しましょう。学校の健康診断などで行われる視力検査では，次ページの図のような，ランドルト環と呼ばれる，一部分にすき間が空いている図を使った，視力検査表が用いられています。この視力検査表で，ともなって変わる2つの数量を探し，その数値がどんな関係になっているか調べましょう。QUESTION片方が大きくなるともう片方が小さくなるから，反比例かな。2 つの数量の対応のしかたを調べないとわからないよ。見方・考え方2つの数量の関係を，具体的に調べてみよう。身のまわりに，比例や反比例の関係を利用していることがらがあるかな。視力検査の表は，視力の値が大きいほど図が小さくなるけど，比例や反比例の関係にあるのかな。156xy(ｍｍ)O0.51.01.52.010203040506070802視力をx， 環の外側の直径をyｍｍ として， xとyの関係を調べます。次ページの視力検査表を使って外側の直径を測り，次の表に書き入れましょう。注意定規などで測定する場合，正確に測れないことがあるが，測定して得られた値を真の値とみなして考える。視力x0.10.20.30.40.50.6外側の直径y(ｍｍ)0.70.80.91.01.21.52.0視力xyｍｍ1 つり合っている天びんでは，両方の皿から同じ重さのものを取り除いたり，両方の重さを半分にしたりしても，天びんはつり合ったままになる。 このことを等式で考えると，右のようになる。 上のことから，クリップ1個の重さが4ｇ であることがわかる。 また，このことから，方程式を「x=(数)」の形に変形することができれば，解を求めることができることがわかる。方程式の解き方3QUESTION方文字に数を代入せずに方程式を解く方法を考えよう。目標見方・考え方具体的に，天びんを使って考えられるかな。102両方の皿から1円玉を2枚，クリップを 1個取り除く両方の重さを半分にする両辺からxと2をひく両辺を2でわる3x+2=x+10 3x+2-x-2 = x+10-x-2 2x =8 2x/2 =8/2 x = 495ページの の天びんでは， 左側の重さは，(3x+2)ｇ ， 右側の重さは，(x+10)ｇです。天びんがつり合ったままで，片方がクリップ 1個になるようにするには，どんな操作をすればよいでしょうか。12左右から同じものをとっても，天びんはつり合ったままだね。左右から同じものをとる以外には，どんなことができるかな。5101520数学の問題として数学の問題として数学の問題として加法・減法1章 正の数・負の数加法の交換法則・結合法則QUESTION次の正の数，負の数の加法をして，それぞれア，イの結果を比べてみましょう。どんなことがわかるでしょうか。(+5)+(-7)(-7)+(+5){(-3)+(+6)}+(-4)(-3)+{(+6)+(-4)}注意かっこを2重にしたいとき，記号{ }を使うことがある。12アイアイふりかえり小学校4年たされる数とたす数を入れかえても，和は変わらない。 □+△=△+□3つの数をたすとき，たす順序を変えても，和は変わらない。 (□+△)+◯ =□+(△+◯)見方・考え方負の数をふくむときも，同じようにきまりが成り立つかな。正の数，負の数の加法は，符号や絶対値に着目して計算することができます。また，加法の交換法則・結合法則どんなことがわかったかな正の数，負の数のひき算も，加法と同じようにできるのかな？次の課題へ!小学校では，たす順序を変えても答えは変わらなかったね。負の数があっても，答えは変わらないのかな。5文字には，正の数，負の数や0など，どんな数でもあてはめられるね。 正の数，負の数の加法でも，次のことが成り立つ。 加法の交こう換かん法ほう則そく a+b=b+a 加法の結けつ合ごう法則 (a+b)+c=a+(b+c) 加法では，交換法則や結合法則を使って，数の順序や組み合わせを変えて計算することができる。101 (+11)+(-5)+(+9)+(-7)=(+11)+(+9)+(-5)+(-7)=(+20)+(-12)=+8計算しやすい方法を考えて，次の計算をしなさい。(-12)+(+7)+(-6)+(+3)2(+19)+(-5)+(-28)+(-14)交換法則を使って，数の順序を変える結合法則を使って，正の数どうしの和，負の数どうしの和をそれぞれ求める例6問71520262「見方・考え方」をまとめよう見方理想化する・単純化する類推的に考える具体化する・抽ちゅう象しょう化する数量や図形に着目するみなして考える同じように考える具体的な場面で考える立体を分類するとき，面や辺に着目して考えました。P.196測定した値でも，関数関係にあるとみなして考えました。P.156小学校の計算と同じようにできるか考えました。P.25天びんの操作におきかえて考えました。P.102解決しよう新たな問題を見つけよう真央さんの考え方で，正方形がa個のときのストローの本数を求める式をつくっ68ページのの美月さんや69ページの問2の拓真さんの考え方では，正方形がa個のときのストローの本数を求める式は，それぞれ次のようになりました。まとめよういくつかの式をまとめて考えよう文字式で表そう23ストローの本数を文字式を利用して考えると，どんなよさがあると考えられるでしょうか。これまでに学んだことをふりかえって，まとめてみましょう。5文字式を利用することで，いろいろな考え方を文字式で表したり，1つの式にまとめたりすることができます。どんなことがわかったかなてみましょう。また，式のつくり方を説明してみましょう。515新たな問題を見つけよう86a個a個式1+3a式4+3(a-1)(a-1)個a個美月さん拓真さん拓真さんの式， の大和さんの式， の真央さんの式をそれぞれ計算し，その結果を美月さんの式と比べてみましょう。12正方形を正三角形に変えたらどうなるかな。文字を使って表すと，いろいろな考え方をしても，1つの式にまとめられるね。次のように，同じ長さのストローを使って，正三角形を横につないだ形をつくります。正三角形をa個つくるとき，ストローは何本必要でしょうか。いろいろな考え方で式をつくってみましょう。つくった式を計算してみよう。4a個10ほかにも，いろいろなところで，「見方・考え方」を見つけてみよう！新たな問題をQUESTION すべての平面上の点の位置は，2つの数の組を使って表すことができる。 負の数の点の表し方を考えよう。 このとき， 横の数直線を x軸じく，または横軸， 縦の数直線を y軸，または縦軸， x軸とy軸を合わせて 座ざ標ひょう軸， 座標軸の交わる点O を 原げん点てんという。また， x軸は，右の向きを正の向き， y軸は，上の向きを正の向き とする。座標座標と比例のグラフ2 まず，右の図のように，直角に交わる2本の数直線を考える。 xもyも負の数だから，表せる場所がないよ。 数直線は，正の数と反対の方向にのばしたけど，右の図ものばせばいいのかな。4章 比例と反比例比例右の図に，前ページの問5 のx=-2， y=-6の点を表すには，どうすればよいか考えてみましょう。25x5y0 数の範囲を負の数まで広げたときの点の位置を決めるには，次のように考えればよい。510151374321O-1-2-3-4-554321-1-2-3-4-5yx正の向き正の向き原点x軸y軸5見方・考え方数直線をもとにして考えられるかな。263発展させる統合させる演えん繹えき的に考える帰納的に考える範はん囲い・条件を変えて考える関連づけて考える根こん拠きょをもとに理由を考えるきまりや性質を考える右の図のような，底面の半径が5 ｃｍ，母線の長さが12 ｃｍの円錐があります。この円錐の側面積は何 ｃｍ2でしょうか。どのように求めればよいか話し合ってみましょう。ＯＡ12ｃｍ5ｃｍＯ'見方・考え方おうぎ形の中心角の大きさと弧の長さに着目できるかな。拓たく真まさんは，側面のおうぎ形の面積を求めるには，その中心角を求めればよいと考えました。拓真さんの考えを読み，下の問いに答えましょう。拓真さんの考えおうぎ形ＯＡＢのＡ&Ｂの長さは，(2@*5)ｃｍ円Ｏの円周の長さは，ｃｍしたがって，おうぎ形ＯＡＢの中心角をx!とすると， 2@*5 x = 360*Y[Z 5 = 360*W12X = 150ＯＯ'Ａ(Ｂ)12ｃｍ5ｃｍＯ12ｃｍ5ｃｍＡx!Ｏ'Ｂ説明しよう数学的活動問題を見つけようQUESTION図形の計量6章 空間図形弧の長さと中心角が比例することが使えるかな。おうぎ形の面積は，半径と中心角がわかれば求められるね。1アイウ1234アの理由を説明しましょう。 にあてはまる式を書きましょう。中心角xの値がイの式で求められる理由を説明しましょう。ウの式から，どんなことが読み取れるでしょうか。51015217数直線をもとに，負の数を表せる図を考えました。P.137同じ数を表していることから，関連づけて考えました。P.86根拠を明らかにして理由を説明できるか考えました。P.217いくつかの計算から，きまりを考えました。P.40 正の数，負の数の乗法でも，次のことが成り立つ。 乗法の交換法則 a*b=b*a 乗法の結合法則 (a*b)*c=a*(b*c) 乗法では，交換法則や結合法則を使って，数の順序や組み合わせを変えて計算することができる。美み月つきさんは，(-4)*(+9)*(-25)の計算を，右のように行いました。1，2の計算の手順を，それぞれ説明しなさい。計算しやすい方法を考えて，次の計算をしなさい。 (-50)*(+17)*(-2)(+9)*(-4.5)*(+2)問7問8いくつかの数の積の符号QUESTION次の計算をしましょう。また，積の符号について気づいたことを話し合ってみましょう。(+5)*(-2)(+5)*(-2)*(-3)(+5)*(-2)*(-3)*(-4)(+5)*(-2)*(-3)*(-4)*(-1)かける数が増えると，積の符号が変わっているね。かける数はすべて負の数だけど，そのことと関係はあるのかな。4012 (-4)*(+9)*(-25)=(+9)*(-4)*(-25)=(+9)*(+100)=+900①② （ ）*(+3.6)*(-8)（ ）*(-10)*（ ）-W1X8+W1X3-W3X5341234見方・考え方符号について，どんなきまりがあるかな。51015巻末の「見方・考え方」をまとめようでは，これまでの学習で身につけた代表的な８つの「見方・考え方」を，問題解決に向けた思考の流れとともに整理しています。これにより，今後の学習や生活にどのような観点で「見方・考え方」を働かせることができるのかが明確になります。「見方・考え方」
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